Abstract. Es sei f eine transzendente ganze Funktion (d.h., eine holomorphe Selbstabbildung der komplexen Zahlenebene, welche kein Polynom ist). Wir interessieren uns dafür, wie sich Punkte unter Iteration der Funktion f verhalten - was geschieht, wenn wir, beginnend mit einem Startwert, wiederholt f anwenden? Von besonderem Interesse ist dabei die Menge I(f) der _entkommenden Punkte_, die bei Iteration unter f gegen unendlich konvergieren. Zum Beispiel ist 0 ein entkommender Punkt der Exponentialfunktion f(z)=e^z, denn hier erhalten wir die Folge 0, 1, e , e^e, e^(e^e) usw. Die Eremenko-Vermutung, ein wichtiges offenes Problem der transzendenten Dynamik, besagt, dass jede Zusammenhangskomponente der Menge I(f) unbeschränkt ist. Ziel des Vortrags ist es, die Vermutung und die zugrundeliegenden Begriffe einzuführen und an einem wichtigen Beispiel zu diskutieren.