Abstract. Der Vortrag soll zunächst eines der prominentesten Probleme der Darstellungstheorie, Lusztigs Vermutung über die Charaktere algebraischer Gruppen, erklären und motivieren. Dann besprechen wir eine ähnliche, jedoch sehr viel elementarere Vermutung über Schnittgarben auf Bruhatgraphen. Wir erklären kurz, wie man diese Vermutung in fast allen Fällen beweist, wie man eine Grenze für die Ausnahmen findet und wieso die Graphen-Vermutung Lusztigs Vermutung impliziert. Schließlich wollen wir einen Ausblick geben auf Anwendungen dieser Methodik für beliebige Coxetersysteme und erklären, wie sich obige Ergebnisse im Rahmen des geometrischen Langlands- Programms interpretieren lassen.